Bài toán Poincaré và Câu chuyện nằm ở mặt sau của tấm huy chương Fields 2006 - Phạm Trà Ân - (II)

6/25/2009 03:54:00 SA Được đăng bởi vnM@th Friends

Nhà toán học PoicarePhần II: Bài toán Poincaré: Những chặng đường chinh phục các đỉnh cao .

Chặng Khởi đầu.
Giả thuyết Poincaré do Nhà Toán học người Pháp, Henri Poincaré (1854-1912), đề xuất bắt nguồn từ một nhận xét có tính trực quan trong dân gian : Trong các “hình cầu - 2 chiều” thông thường, mọi đường cong khép kín đều có thể co lại liên tục thành một điểm trên mặt phẳng. ( hình 1).
Năm 1904 Poincare đặt vấn đề : liệu kết quả trên có còn đúng hay không đối vối một “Hình cầu - 3 chiều”?

Hình học-Tôpô, đôi khi còn được gọi một cách dân dã là
“Hình học của các màng cao su”, vì ngành này chuyên
nghiên cứu về sự bảo tồn của các bề mặt, khi các bề mặt bị kéo dãn ra hay bị chọc thủng. Đối với các nhà Tôpô học, chẳng có một sự khác biệt nào giữa một chiếc bánh vừng vòng với một tách cà phê, vì cả hai đều có một lỗ thủng trên bề mặt, nhưng lại có sự khác biệt “rất quan trọng” giữa một trái bóng tròn (không có lỗ thủng nào) với một chiếc săm ô tô đã được bơm căng (có một lỗ thủng).

H. Poincaré đã dự đoán
Sẽ không có cách nào biến đổi một bề mặt không có lỗ thủng thành một bề mặt có một lỗ thủng mà không xé rách nó và bất kỳ bề mặt không có lỗ nào cũng có thể kéo căng thành bề mặt của một khối cầu
Ông đã tìm cách chứng minh phỏng đoán này, nhưng không chứng minh được. Sau này phỏng đoán của Poincaré được các nhà toán học gọi là “Giả thuyết Poincaré”, viết tắt là PC (Poincaré Conjecture). Chính Poincaré đã dùng thuật ngữ Đa tạp (manifold) để chỉ một không gian tôpô trừu tượng và “Giả thuyết Poincaré” bây giờ có thể phát biểu một cách khác bằng ngôn ngữ của toán học hiện đại như sau :
“Tất cả các đa tạp-3 chiều , đóng và đơn liên, đều là khối hình cầu.”

Sau này cũng có một câu hỏi tương tự như thế cho “Hình cầu n - chiều” với n > 3 và đó chính là Giả thuyết Poincaré mở rộng.


Về tầm quan trọng của Giả thuyết Poincaré, ngoài sự kiện PC là một bài toán rất khó về mặt toán học, các nhà khoa học còn kỳ vọng rằng PC có thể giúp chúng ta có được những hiểu biết mới về “Cái thủa ban đầu ” của vũ trụ. Chính Poincaré cũng đã dự đoán rằng “Cette question nous entrainerait trop loin !” ( Vấn đề này sẽ đưa chúng ta đi rất xa đây!).

Sau Poincaré, cũng có nhiều nhà tóan học khác cùng thời với Ông, đã “sắn tay áo lên” thử chứng minh PC, nhưng phần lớn họ đều trắng tay, trừ một số ít người đã có may mắn thu luợm được một vài kết quả phụ, mang dấu ấn “quả hái dọc đường” , như Bổ đề Dehn, Định lý mặt cầu, Định lý khuyên, v… v…

Chinh phục đỉnh cao “ PC với n > 3 ” .
Thời gian trôi nhanh . . . Đã bước vào những năm 60 của thế kỷ XX .
Lúc này, ngành Tôpô đang phát triển mạnh và đã thực sự trở thành một trong số những ngành sôi động nhất của Toán học đương đại. Trong bối cảnh chung đó, đã xuất hiện một đợt sóng “Tấn công PC” mới với cả một thế hệ các nhà toán học trẻ, rất tài ba. Kết quả không ngờ là các nhà toán học trẻ đã phát hiện ra một sự kiện quan trọng, làm “ngỡ ngàng” cánh các nhà toán học già thời bấy giờ. Hoá ra là việc chứng minh PC trong trường hợp đa tạp có số chiều lớn hơn 3 lại dễ hơn nhiều so với chứng minh PC với số chiều đúng bằng 3 !. Mới nghe thì cảm thấy như vô lý, trái với những gì ta vẫn thấy trong thực tế, (đó là chứng minh trong trường hợp số chiều lớn thì thường khó khăn hơn so với khi số chiều là bé hơn !) . Vậy mà năm 1960 Stephen Smale lại chứng minh được PC với số chiều lớn hơn 4 và đến năm 1983, Michael Freedman chứng minh được PC cho số chiều đúng bằng 4. Còn trường hợp n bằng 3 thì cả hai đã thử nhưng đều bó tay. Chính nhờ các kết quả này, mà Smale đã nhận Giải thưởng Fields - 1966, còn Freedman được nhận Giải thưởng Fields - 1986. Đến đây Bạn đọc có thể đặt câu hỏi : “ Nguyên nhân nào đã làm cho chứng minh PC với số chiều bằng 3 lại là khó hơn nhiều so với trường hợp số chiều lớn hơn 3? ” . Câu trả lời từ phía những người trong cuộc là : 3 chiều là số chiều quá nhỏ để ta có thể di chuyển “Miền vấn đề” (Problemtical regions) của PC ra khỏi “Vùng ảnh hưởng tương tác “ của một số vấn đề khác, có ảnh hưởng quan trọng đến PC.

Chặng đường “ Hình học hoá”.

Trong Tôpô, người ta thường sử dụng phương pháp “Hình học hoá” để phân loại các 2-đa tạp (tức là phân loại các bề mặt). Mỗi bề mặt tôpô được gắn với một hình học đặc biệt và duy nhất, theo đó đường cong của bề mặt được trải ra một cách “đồng đẳng” trên đa tạp (tức là chúng có độ cong như nhau ở mọi chỗ). Hình cầu là hình duy nhất có tính chất này, đó là một mặt cầu “tròn trĩnh, hoàn hảo”. Dạng “quả trứng” là một hình khác, khả dĩ có thể hy vọng đáp ứng được yêu cầu trên ?. Tuy nhiên ta thấy nó lại không thoả mãn điều kiện độ cong là bằng nhau ở mọi chỗ, bởỉ vì ở quả trứng, đầu nhỏ có độ cong lớn hơn ở đầu to.

Các 2-đa tạp tạo nên ba kiểu hình học. Hình cầu được coi là có độ cong dương. Hình xuyến được hình học hoá là phẳng, có độ cong bằng không, giống như mặt phẳng. Tất cả các 2-đa tap khác có từ hai “tay cầm” trở lên, thí dụ hình yên ngựa, đều có độ cong âm. Đó là sự hình học hóa các 2-đa tạp. Nhưng khi áp dụng phương pháp trên cho các 3-đa tạp, hoá ra các 3-đa tạp lại rắc rối hơn nhiều. Hầu hết các 3-đa tạp không thể gắn được với một hình học đồng nhất. Thay vào đó, chúng có thể được cắt thành các mẩu nhỏ, mỗi mẩu có một hình học chính tắc riêng biệt. Hơn thế nữa, thay vì chỉ có ba dạng hình học cơ bản như trong trường hợp 2-đa tạp, các 3-đa tạp có thể có tới 8 dạng hình học chính tắc.

Vào những năm cuối của thập niên 70 thuộc thế kỷ trước, nhà toán học Thurston đã đề xuất “Giả thuyết Hình học hoá “, viết tắt là GC (Geometrization Conjecture), được phát biểu như sau :
“Có thể cắt một đa tạp 3 - chiều thành các phần, mỗi phần có một trong tám loại hình dạng khác nhau, trong đó có dạng mặt cầu.”
Sau này chính Thurston đã mô tả tất cả các đa tạp - 3 chiều có thể có được, và đó là một sự tổng quát hoá của PC. Năm 1982, Thurston đã được nhận Giải thưởng Fields vì những đóng góp quan trọng của Ông cho ngành Tôpô học.
Đây là Giải thưởng Fields thứ ba có liên quan trực tiếp tới Giả thuyết Poincaré. Trong lịch sử Toán học, thật hiếm thấy có vấn đề toán học nào là “cái nôi” cho nhiều Giải thưởng Fields đến thế!

Chặng tăng tốc : “Dòng Ricci”

Cũng vào năm 1982, có một nhà toán học khác là Richard Hamilton , ĐH Cornell , Mỹ, bắt đầu một chương trình phân tích mới các đa tạp - 3 chiều bằng cách sử dụng một phương trình gọi là “Dòng Ricci ” (lấy theo tên nhà toán học Ricci-Curbastro), một phương trình tương tự như phương trình truyền nhiệt trong Vật lý toán. Như mọi người đều biết, trong một vật, nếu có sự chênh lệch về nhiệt độ, thì ngay tức khắc, nhiệt lượng sẽ được truyền một cách tự nhiên từ nơi nóng sang nơi lạnh cho đến khi nào nhiệt độ tại mọi nơi là như nhau. Phương trình Dòng Ricci cũng có một hiệu ứng tương tự như vậy, nhưng là xẩy ra với tham số là độ cong. Hiệu ứng này sẽ làm mất dần đi những lồi lõm, tức là làm mất dần đi sự chênh lệch độ cong, cho đến khi độ cong ở mọi nơi là như nhau. Nếu ta bắt đầu với một hình quả trứng, nó sẽ dần dần biến thành một hình cầu hoàn hảo. Nhưng phép phân tích của Hamilton lại gặp một trở ngại lớn mà Ông không thể vượt qua được. Đó là trong một số trường hợp nhất định, dòng Ricci lại làm một đa tạp co lại thành một điểm. Ví dụ khi đa tạp có dạng là một “quả tạ cầm tay”, tức là gồm 2 hình cầu được nối với nhau bằng một trục hình ống. Khi đó các hình cầu sẽ hút vật chất từ trục ống và làm cho phần giữa trục trở thành một điểm. Một ví dụ khác nữa là khi có một cái que được gắn vào một đa tạp, dòng Ricci lại có thể gây ra cái gọi là “kỳ dị dạng điếu xì-gà”. Khi các đa tạp bị biến dạng như thế, nó không còn là một đa tạp - 3 chiều thực sự nữa !

Lịch sử đang chờ đợi sự xuất hiện của một nhân vật mới, có đầy đủ các phẩm chất cần thiết, để có thể “đặt lên vai “ con người này, cái sứ mệnh thiêng liêng là chinh phục đỉnh cao cuối cùng “ PC với n = 3” ! .

Chinh phục đỉnh cao cuối cùng “ PC với n = 3”

Cuối cùng, lịch sử cũng đã tìm được nhân vật cần tìm. Đó là Nhà toán học trẻ tuổi người Nga, Tiến sĩ Grigori Perelman , Viện Toán Steklov, Peterburg.

Perelman trong “một giây phút thăng hoa tuyệt vời” của tư duy Toán học, Ông đã đưa vào một số hạng mới cho phương trình “Dòng Ricci”. Phương trinh mới thu được, tuy không loại bỏ được các rắc rối về kỳ dị, nhưng nó cho phép Perelman thực hiện các “phẫu thuật” tinh vi hơn. Với những “kỳ dị hình hình quả tạ”, ông có một “cách diều trị” như sau : cắt đi sự biến dạng ở mỗi bên và hàn lại chỗ hở trên mỗi quả tạ bằng một chỏm cầu. Khi ấy Dòng Ricci có thể tiếp tục biến đổi đa tạp, đồng thời với thủ tục phẫu thuật như vậy. Đối với các kỳ dị “kiểu điếu xì-gà”, Ông đã chỉ ra rằng, chúng không thể xẩy ra. Theo cách này, một 3-đa tạp bất kỳ có thể đưa về một tập hợp các mẩu nhỏ, mỗi mẩu nhỏ có một hình học đồng nhất. Khi dòng Ricci và “Phép phẫu thuật” của Perelman được áp dụng cho một đa tạp 3 - chiều bất kỳ, và nếu kết quả nhận được trên các mẩu nhỏ đều là hình cầu 3- chiều cả thì điều đó có nghĩa là đa tạp cần tìm chính là hình cầu 3 - chiều và nó là duy nhất. Perelman đã chỉ ra được điều này. Và như vậy, Giả thuyết Poincaré đã được chứng minh.
Đỉnh cao cuối cùng “PC với n =3“ đã được G. Perelman chinh phục như thế đấy !

Ý nghĩa của việc chứng minh được CP

Về ý nghĩa, chứng minh Giả thuyết Poincaré của Perelman đã mở ra một hướng mới trong ”kỹ thuật phân tích’. Các nhà toán học hy vong và cũng đang thử vận dụng phương pháp này để giải một số các bài toán khó khác.
Nhưng ý nghĩa chính của thành tựu toán học này lại nằm ở mối liên hệ của PC với Vật lý lý thuyết.

Trong vật lý, Dòng Ricci có liên quan đến Nhóm tái chuẩn hoá, xác định sự thay đổi cường độ của các tương tác, có phụ thuộc vào năng lượng va chạm trong vật lý. Chẳng hạn, ở những năng lượng thấp, tương tác diện từ có cường độ được đặc trưng bởi con số 0,0073 ( xấp xỉ khoảng 1/137). Nếu hai electron va vào nhau với một tốc độ gần bằng tốc độ của ánh sáng, thì cường độ tương tác sẽ xấp xỉ bằng 0,0073.
Tăng năng lượng va chạm, tương đương với nghiên cứu đối tượng ở một khoảng cách gần hơn. Vì vậy nhóm tái chuẩn hoá đóng vai trò như một kính hiển vi có độ phóng đại có thể thay đổi được, để khảo sát một quá trình nào đó ở những mức độ chính xác khác nhau. Tương tự như vậy, dòng Ricci cũng có vai trò như một chiếc kính hiển vi dùng để quan sát các đa tạp với một độ phóng đại cho trước. Khi ấy những lồi lõm nhìn thấy được ở một độ phóng đại này có thể sẽ biến mất ở một độ phóng đại khác. Các nhà vật lý mong đợi rằng ở thang chiều dài Planck , không gian mà chúng ta đang sống sẽ hoàn toàn khác, nó sẽ lổn nhổn những “vòng kín”, các “tay cầm” cùng các cấu trúc tôpô khác.
Như vậy Toán học mô tả sự thay đổi các lực vật lý lại rất giống với Toán học mô tả sự hình học hoá của các đa tạp !
PC còn có các mối liên hệ khác với Vật lý lý thuyêt, thông qua các phương trình của Thuyết tương đối tổng quát. Các phương trình của thuyết tương đối tổng quát mô tả lực hấp dẫn và cấu trúc của Vũ trụ, ở phạm vi vĩ mô, rất gần với phương trình Dòng Ricci. Hơn thế nữa, số hạng mà Perelman đã thêm vào trong phương trình “dòng Ricci”, thực ra là đã có trong Lý thuyết dây, một lý thuyết lượng tử về lực hấp dẫn. Do đó người ta hy vọng rằng, khám phá của Perelman sẽ đem lại cho con người những hiểu biết mói về vũ trụ, thông qua Lý thuyết tương đối tổng quát chăng?

Với tất cả các các ý nghĩa vừa quan trọng vừa sâu sắc trên, Tạp chí Science, một tờ báo khoa học đại chúng hàng đầu của Mỹ, cuối năm 2006 đã bầu chọn sự kiện “Chứng minh được Giả thuyết Poincaré của Perelman” là sự kiện đột phá số 1 của năm 2006, cùng với 9 sự kiện đột phá khác, được chọn từ các ngành khoa học khác nữa, nhưng cả 9 sự kiện này đều không được Science xếp hạng thứ tự. Hơn thế nữa, theo bình luận của Tổng biên tập Tạp chí Science, Donald Kennedy, thì sự kiện “Chứng minh giả thuyết Poincaré của Perelman” , theo Ông, không những là sự kiện đột phá của năm 2006, mà còn là “ sự kiện đột phá của ít nhất một thập kỷ nữa ! “.
Từ trước đến nay chưa có một thành tựu toán học nào lại được tờ Science đánh giá cao đến như vậy !.
---------
Hình 1. Nhà toán học H.Poincaré
Hình 2. Mô tả PC cho Hình cầu 2 chiều .
Hình 3. G. Perelman, thời điểm chinh phục đỉnh cao cuối cùng .
Hình 4. Tạp chí Science bình chọn “Sự kiện đột phá của Năm 2006”

3 nhận xét:

  1. TESTER nói...

    Không hiểu :(

  2. minh_chi_p nói...

    uh.that pro.tum lai ko hieu

  3. bluesky nói...

    hi. thật là thú vị khi từ một quả tạ cầm tay mà chuyển về được thành một hình cầu. cảm giác đó là một quá trình lâu dài từ kéo dài làm căng đến hút vào tâm.hihi. giống như bơm hơi và nén lại vậy.

Đăng nhận xét